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Approximative Algorithmen und Nichtapproximierbarkeit

Jansen, Klaus. Approximative Algorithmen und Nichtapproximierbarkeit (de Gruyter, 2008)(ISBN 3110203162)(521s)

Nonlinear dimensionality reduction

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Der Schedule s ist dann also die „Hilfsvariable“, die dem Algorithmus hilft, sich für die richtige Antwort zu entscheiden. Offensichtlich gilt P Â NP, man setze die Hilfsvariable y in der Definition von NP einfach als leeres Wort. Die große Frage aber ist, ob auch die Umkehrung gilt, d. , ob die beiden Klassen gleich sind. Trotz vieler Bemühungen in den letzten Jahrzehnten konnte diese Frage bisher nicht beantwortet werden, es wird allerdings angenommen, dass P eine echte Teilmenge von NP ist. Ziel der Betrachtung der oben definierten Komplexitätsklassen, jedenfalls im Kontext des vorliegenden Buches, ist es, ein Verfahren in die Hand zu bekommen, mit dem man von Optimierungsproblemen zeigen kann, dass diese unter der Voraussetzung P 6D NP nicht polynomiell gelöst werden können.

Ist umgekehrt eine erfüllende Belegung von ˛i0 , so ist leicht einzusehen, dass die Einschränkung von auf fx1 ; : : : ; xn g ebenfalls eine erfüllende Belegung für ci ist. 4 Weitere NP-vollständige Probleme Wir wollen das im letzten Abschnitt vorgestellte Verfahren anhand des Cliquenproblems vertiefen. 31 (Karp [128]). C LIQUE ist NP-vollständig. Beweis. Wir wissen bereits, dass das Problem aus NP ist und müssen nur noch 3S AT Ä C LIQUE zeigen. ak1 _ ak2 _ ak3 / mit aij 2 fx1 ; : : : ; xn g [ f:x1 ; : : : ; :xn g für alle i 2 f1; : : : ; kg, j 2 f1; : : : ; 3g.

Wir wollen die Betrachtungen an dieser Stelle kurz wiedergeben und anhand einiger Beispiele festigen. Einschränkung Dies ist die leichteste Art, NP-Vollständigkeitsbeweise zu finden. Die Idee hier ist einfach zu zeigen, dass ein Teilproblem schon NP-vollständig ist. Ein typisches Beispiel dafür ist das Problem K NAPSACK. Hier hatten wir bereits gesehen, dass die Einschränkung dieses Problems auf Instanzen mit Gewichten null gerade dem Problem S UBSET S UM entspricht. 37 (J OB S CHEDULING). Eingabe: Maschinen M1 ; : : : ; Mm , m 2 N, Jobs J1 ; : : : ; Jn , n 2 N, Ausführungszeiten p1 ; : : : ; pn für jeden Job und eine Deadline t 2 N.

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